دنیای ریاضی به هم ریخت / علامت = لزوما به معنی «مساوی» نیست!

غزل زیاری: به نظر می رسد ریاضیدانان قادر به توافق بر سر تعریف علامت مساوی (=) نیستند که دو چیز را برابر می کند. این اختلاف ممکن است برای برنامه‌های رایانه‌ای که برای تأیید اثبات‌های ریاضی استفاده می‌شوند، مشکل ساز باشد.

به گزارش وبسایت رابو، این نبرد دانشگاهی دهه هاست که ادامه دارد اما اخیرا شدت آن به اوج خود رسیده است. دلیل آن این است که برنامه های رایانه ای که برای اثبات رسمی یا بررسی اسناد استفاده می شوند باید دستورالعمل های واضح و مشخصی داشته باشند و تعاریف مبهم مفاهیم ریاضی که بتوان آنها را تفسیر کرد یا به رایانه های پشتیبان تکیه کرد در این زمینه مؤثر نخواهد بود.

کوین بازارد، ریاضیدان بریتانیایی در کالج امپریال لندن، هنگام کار با برنامه نویسان کامپیوتری با این مشکل مواجه شد. این باعث شد که او در تعریف «این برابر است» تجدید نظر کند و چندین مفهوم منطقی از برابری را به چالش بکشد.

Buzzard در این باره می نویسد: «شش سال پیش، فکر می کردم که مفهوم برابری را در ریاضیات می دانم و آن را به عنوان یک اصطلاح کاملاً تعریف شده در نظر گرفتم، ریاضیات سطح بالا را در رایانه ای به کار بردم من کشف کردم که مفهوم برابری در ریاضیات بسیار پیچیده تر از “قبلاً او را می شناختم” است.

تاریخچه مفهوم برابری در ریاضیات

در سال 1557، رابرت رکورد، ریاضیدان ولزی، علامت مساوی (=) را با دو خط موازی به دنیا معرفی کرد که به زیبایی برابری اشیا را در دو طرف علامت نشان می دهد.

این مفهوم در ابتدا مورد توجه قرار نگرفت، اما با گذشت زمان، نماد بدیهی آقای رکورد جایگزین عبارت لاتین “aequalis” شد و بعدها علم کامپیوتر را پایه گذاری کرد. 400 سال پس از معرفی رابرت رکورد در سال 1957، علامت برابر برای اولین بار به عنوان بخشی از زبان برنامه نویسی کامپیوتر FORTRAN I استفاده شد.

مفهوم برابری در دنیای ریاضیات سابقه بسیار طولانی تری دارد و حداقل به یونان باستان برمی گردد. بازارد گفت که ریاضیدانان مدرن در واقع از اصطلاح “نسبتا آزاد” برای مفهوم برابری استفاده می کنند.

در استفاده روزمره که برای ما آشناست، علامت مساوی در واقع تنظیم کننده معادلاتی است که در ریاضیات دارای ارزش یا معنی یکسان هستند. یعنی چیزی است که با چند تغییر منطقی قابل رفع است و از یک طرف به طرف دیگر جابه جا می شود; به عنوان مثال، عدد صحیح 2 مجموع یک جفت اعداد (1 + 1) را توصیف می کند.

اما تعریف دوم از مفهوم «برابری» از اواخر قرن نوزدهم و با پیدایش نظریه مجموعه ها در بین ریاضیدانان به کار رفته است. در آن زمان نظریه مجموعه ها توسعه یافت و بنابراین تعریف ریاضیدانان از مفهوم برابری گسترش یافت.

تقارن متعارف در ریاضیات

مجموعه ای مانند {1، 2، 3} را می توان “برابر” با مجموعه ای مانند {a, b, c} در نظر گرفت. دلیل آن این است که درک ضمنی به نام همسانی کلاسیک وجود دارد که شباهت‌های بین ساختار گروه‌ها را مقایسه می‌کند.

بازارد گفت: «این گروه ها به روشی طبیعی در کنار هم قرار می گیرند. ریاضیدانان متوجه شدند که اگر آنها را برابر بدانیم، واقعاً آسان خواهد بود.

اکنون، با در نظر گرفتن تقارن سنتی به معنای برابری، ریاضیدانانی که تلاش می‌کنند از رایانه‌ها برای ارائه شواهد رسمی از مفاهیم بنیادی و چند دهه‌ای استفاده کنند، با مشکلات جدی مواجه می‌شوند.

بازارد با اشاره به تلاش های الکساندر گروتندیک، ریاضیدان قرن بیستم برای توصیف برابری در نظریه مجموعه ها، گفت: «هیچ یک از سیستم های رایانه ای کنونی استفاده ریاضی گروتندیک از نماد برابری را درک نمی کند.

اکنون برخی از ریاضیدانان معتقدند که مفاهیم ریاضی باید دوباره تعریف شوند تا تقارن سنتی به طور رسمی معادل مفهوم «برابر» در نظر گرفته شود. اما بازارد با این نظر مخالف است و معتقد است که عدم تطابق بین ریاضیدانان و ماشین‌ها باید ریاضیدانان را وادار کند که دقیقاً منظورشان از مفاهیم اساسی ریاضی مانند «برابری» به گونه‌ای که رایانه‌ها بتوانند آن را درک کنند، تجدید نظر کنند.

او می‌گوید: «وقتی کسی مجبور است منظور واقعی خود را بنویسد و نمی‌تواند پشت کلمات تعریف‌نشده پنهان شود، متوجه می‌شود که باید کارهای بیشتری انجام دهد یا حتی در نحوه ارائه ایده‌های خاص تجدید نظر کند.

منبع: Sciencealert

54321